サーバーはSEOに影響しますか？
『影響する』と言えます。
サーバー性能が高いとサイト表示が速くなり、表示速度が速いことはグーグルの順位付けにいい影響を与えるからです。具体的にはグーグルロボットのクロール時間（サーバーにアクセスしてHTMLページをダウンロード時間）が順位決定に影響します。
また、レンタルサーバーがhttps化（SSL化）を無料サービスとして提供していれば、ユーザーとしても導入しやすくなり、ユーザーのクリック率が上がり、グーグルからのサイト評価改善につながるでしょう。
よって、レンタルサーバー選びはSEOに関係すると言えます。
おすすめのサーバーは？
以下がおすすめです。もちろん他にもいいサーバーはありますが、以下のプランはハイスペックかつ安いのでおすすめです。
エックスサーバー
X10プラン。月額990円、容量300GB、無料SSLあり
さくらのレンタルサーバ
ライトプラン（月額換算131円、無料SSLあり）、スタンダードプラン（月額524円、容量100GB、無料SSLあり）
『レンタルサーバーがSEOへ及ぼす影響について』もご覧下さい。